Управление образования администрации муниципального округа Горноуральский Свердловской области
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 6
Приложение №1
к Основной образовательной программе
среднего общего образования,
утвержденной приказом по МБОУ СОШ №6
от 20 августа 2025г. № 147-д
Рабочая программа учебного курса «Алгебра и начала математического анализа» (базовый уровень),
10-11 классы
1.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Арифметические операции с
рациональными числами, преобразования числовых выражений. Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближѐнные
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного числа. Использование подходящей формы записи
действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени.
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования.
Преобразование тригонометрических выражений. Основные тригонометрические формулы.
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод интервалов.
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений.
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции.
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Чѐтные и нечѐтные функции.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Еѐ свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные последовательности.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера―Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
Определение, теорема, следствие, доказательство.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел.
Степень с рациональным показателем. Свойства степени.
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы.
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
Примеры тригонометрических неравенств.
Показательные уравнения и неравенства.
Логарифмические уравнения и неравенства.
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений.
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств.
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни.
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и
наименьшее значение функции на промежутке.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем.
Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других
учебных предметов и реальной жизни.
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств.
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной суммы, произведения и частного функций.
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке.
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости процесса, заданного
формулой или графиком.
Первообразная. Таблица первообразных.
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по формуле Ньютона―Лейбница.
2. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА» (БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Освоение учебного предмета «Математика» должно обеспечивать достижение на уровне среднего общего образования
следующих личностных, метапредметных и предметных образовательных результатов:
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Математика» характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена российского общества,
представлением о математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(выборы, опросы и пр.), умением взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему российской математики,
ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках, технологиях, сферах экономики.
Духовно-нравственного воспитания:
осознанием духовных ценностей российского народа; сформированностью нравственного сознания, этического поведения,
связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью учѐного; осознанием личного вклада в построение
устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений;
восприимчивостью к математическим аспектам различных видов искусства.
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические знания в интересах здорового и безопасного образа жизни,
ответственного отношения к своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная
физическая активность); физического совершенствования, при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью.
Трудовое воспитание:
готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; интересом к различным сферам профессиональной деятельности,
связанным с математикой и еѐ приложениями, умением совершать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать
собственные жизненные планы; готовностью и способностью к математическому образованию и самообразованию на протяжении
всей жизни; готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием влияния социально-экономических процессов на состояние
природной и социальной среды, осознанием глобального характера экологических проблем; ориентацией на применение
математических знаний для решения задач в области окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики,
пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов еѐ развития и значимости для развития
цивилизации; овладением языком математики и математической культурой как средством познания мира; готовностью осуществлять
проектную и исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика» характеризуются овладением
универсальными познавательными действиями, универсальными коммуникативными действиями, универсальными регулятивными
действиями.
1) Универсальные познавательные действия, обеспечивают формирование базовых когнитивных процессов обучающихся
(освоение методов познания окружающего мира; применение логических, исследовательских операций, умений работать с
информацией).
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между понятиями;
формулировать определения понятий; устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие;
условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях;
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от противного), выстраивать
аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с
учѐтом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания; формулировать вопросы, фиксирующие противоречие,
проблему, устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению особенностей математического
объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведѐнного наблюдения, исследования, оценивать
достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять еѐ в различных формах, иллюстрировать графически;
оценивать надѐжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
2) Универсальные коммуникативные действия, обеспечивают сформированность социальных навыков обучающихся.
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения; ясно, точно, грамотно выражать
свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный
результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи,
нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие
и сходство позиций; в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта; самостоятельно выбирать формат
выступления с учѐтом задач презентации и особенностей аудитории.
Сотрудничество:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных задач; принимать цель
совместной деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать
процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть
работы и координировать свои действия с другими членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по
критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия, обеспечивают формирование смысловых установок и жизненных навыков
личности.
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учѐтом имеющихся ресурсов и собственных
возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учѐтом новой информации.
Самоконтроль:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их
результатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых
обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения результатов
деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретѐнному опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного курса «Алгебра и начала математического анализа» на уровне среднего общего образования должно
обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и десятичная дробь, проценты.
Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными числами.
Выполнять приближѐнные вычисления, используя правила округления, делать прикидку и оценку результата вычислений.
Оперировать понятиями: степень с целым показателем; стандартная форма записи действительного числа, корень натуральной
степени; использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла; использовать запись произвольного угла через обратные
тригонометрические функции.
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство; целое, рациональное, иррациональное уравнение, неравенство;
тригонометрическое уравнение;
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения.
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых, рациональных
и иррациональных уравнений и неравенств.
Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область определения и множество значений функции, график
функции, взаимно обратные функции.
Оперировать понятиями: чѐтность и нечѐтность функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.
Использовать графики функций для решения уравнений.
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции, степенной функции с целым показателем.
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни; выражать формулами зависимости между величинами.
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии.
Задавать последовательности различными способами.
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения реальных задач прикладного характера.
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других
учебных предметов.
Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать признаки делимости целых чисел, разложение числа на
простые множители для решения задач.
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем.
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
Уравнения и неравенства
Применять свойства степени для преобразования выражений; оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство;
решать основные типы показательных уравнений и неравенств.
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы; оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и
неравенство; решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств.
Находить решения простейших тригонометрических неравенств.
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и еѐ решение; использовать систему линейных уравнений для решения
практических задач.
Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и неравенств.
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по условию
задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее
и наименьшее значения функции на промежутке; использовать их для исследования функции, заданной графиком.
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций; изображать их на
координатной плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств.
Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и использовать их для решения системы линейных
уравнений.
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из других учебных дисциплин.
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: непрерывная функция; производная функции; использовать геометрический и физический смысл
производной для решения задач.
Находить производные элементарных функций, вычислять производные суммы, произведения, частного функций.
Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к
построению графиков.
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических,
задачах.
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать геометрический и физический смысл интеграла.
Находить первообразные элементарных функций; вычислять интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами математического
анализа.
3. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
Наименование разделов и тем программы
п/п
Количество часов
Всего
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
1
Множества рациональных и действительных чисел.
Рациональные уравнения и неравенства
14
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
2
Функции и графики. Степень с целым показателем
6
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
3
Арифметический корень n–ой степени.
Иррациональные уравнения и неравенства
18
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
4
Формулы тригонометрии.Тригонометрические
уравнения
22
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
5
Последовательности и прогрессии
5
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
6
Повторение, обобщение, систематизация знаний
3
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/1568aba3
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
68
11 КЛАСС
№
п/п
Наименование разделов и тем программы
Количество часов
Всего
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
1
Степень с рациональным показателем. Показательная
функция. Показательные уравнения и неравенства
12
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
2
Логарифмическая функция. Логарифмические
уравнения и неравенства
12
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
3
Тригонометрические функции и их графики.
Тригонометрические неравенства
9
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
4
Производная. Применение производной
24
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
5
Интеграл и его применения
9
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
6
Системы уравнений
12
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
7
Натуральные и целые числа
6
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
8
Повторение, обобщение, систематизация знаний
18
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/f11c4afd
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
102
4. ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код проверяемого
результата
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего
образования
1
1.1
1.2
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и десятичная дробь, проценты
Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными числами
Выполнять приближѐнные вычисления, используя правила округления, делать прикидку и оценку результата
вычислений
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа, корень
натуральной степени; использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла; использовать запись произвольного угла
через обратные тригонометрические функции
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое, рациональное, иррациональное уравнение,
неравенство, тригонометрическое уравнение
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых,
рациональных и иррациональных уравнений и неравенств
Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и задач из различных областей науки и
реальной жизни
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию
задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область определения и множество значений
функции, график функции, взаимно обратные функции
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
Код проверяемого
результата
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего
образования
3.2
3.3
3.4
Оперировать понятиями: чѐтность и нечѐтность функции, нули функции, промежутки знакопостоянства
Использовать графики функций для решения уравнений
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции, степенной функции с целым показателем
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
Задавать последовательности различными способами
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач
из других учебных предметов
Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
11 КЛАСС
Код проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего
образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать признаки делимости целых чисел, разложение
числа на простые множители для решения задач
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы
Уравнения и неравенства
Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать понятиями: показательное уравнение и
неравенство; решать основные типы показательных уравнений и неравенств
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы; оперировать понятиями: логарифмическое
уравнение и неравенство; решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и еѐ решение; использовать систему линейных уравнений
для решения практических задач
Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и неравенств
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по
условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности функции, точки экстремума функции,
наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке; использовать их для исследования функции, заданной
графиком
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций; изображать их
на координатной плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств
Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и использовать их для решения системы
линейных уравнений
Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из других учебных дисциплин
Начала математического анализа
Код проверяемого
результата
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего
образования
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции; использовать геометрический и физический
смысл производной для решения задач
Находить производные элементарных функций, вычислять производные суммы, произведения, частного функций
Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты
исследования к построению графиков
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать геометрический и физический смысл интеграла
Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл по формуле Ньютона – Лейбница
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами
математического анализа
5. ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Код
Проверяемый элемент содержания
1
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Арифметические операции с
рациональными числами, преобразования числовых выражений. Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближѐнные
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного числа. Использование подходящей формы записи
действительных чисел для решения практических задач и представления данных
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования
Преобразование тригонометрических выражений. Основные тригонометрические формулы
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод интервалов
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Решение тригонометрических уравнений
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Чѐтные и нечѐтные функции
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Еѐ свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные последовательности
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
Код
4.2
5
5.1
5.2
Проверяемый элемент содержания
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного
характера
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
Определение, теорема, следствие, доказательство
11 КЛАСС
Код
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3
3.1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем
Примеры тригонометрических неравенств
Показательные уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и
наименьшее значение функции на промежутке
Код
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Проверяемый элемент содержания
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем
Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других
учебных предметов и реальной жизни
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной суммы, произведения и частного функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости процесса, заданного
формулой или графиком
Первообразная. Таблица первообразных
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по формуле Ньютона – Лейбница
6. ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код проверяемого
требования
1
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение формулировать и оперировать
понятиями: определение, аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные
формулировки; применять их; умение формулировать обратное и противоположное утверждение, приводить
примеры и контрпримеры, использовать метод математической индукции; проводить доказательные
рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений; умение оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами; умение использовать теоретикомножественный аппарат для описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе из
Код проверяемого
требования
2
3
4
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
других учебных предметов; умение оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на
плоскости; умение задавать и описывать графы различными способами; использовать графы при решении
задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с целым показателем, корень
натуральной степени, степень с рациональным показателем, степень с действительным показателем, логарифм
числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число,
иррациональное число, множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; умение
использовать признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм
Евклида при решении задач; знакомство с различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со степенями и логарифмами, преобразования
дробно-рациональных выражений; умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая
прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; умение задавать
последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул; умение оперировать понятиями:
комплексное число, сопряжѐнные комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма записи
комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь производить
арифметические действия с комплексными числами; приводить примеры использования комплексных чисел;
оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель матрицы, геометрический смысл определителя
Умение
оперировать
понятиями:
рациональные,
иррациональные,
показательные,
степенные,
логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями:
тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств,
равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью
различных приѐмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром; применять уравнения,
неравенства, их системы для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чѐтность функции, периодичность функции, ограниченность
функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции,
геометрический и физический смысл производной, первообразная, определѐнный интеграл; умение находить
асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных
Код проверяемого
требования
5
6
7
8
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие
значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;
применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических и физических задачах; находить площади и объѐмы фигур с помощью интеграла; приводить
примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция, композиция функций, линейная функция,
квадратичная функция, рациональная функция, степенная функция, тригонометрические функции, обратные
тригонометрические функции, показательная и логарифмическая функции; умение строить графики изученных
функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать графики для изучения процессов и
зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и задач из реальной жизни; выражать
формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения
уравнений,
неравенств
и
задач
с параметрами; изображать на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, на движение, работу,
стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами);
составлять
выражения,
уравнения,
неравенства
и их системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов;
умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства
и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах, дисперсия, стандартное отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические
данные, в том числе с применением графических методов и электронных средств; графически исследовать
совместные наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события;
умение вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать понятиями: случайная величина,
Код проверяемого
требования
9
10
11
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной
величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений;
умение использовать свойства изученных распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон
больших чисел, методы выборочных исследований; умение приводить примеры проявления закона больших
чисел в природных и общественных явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число
сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные факты и рассуждения для
решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский
угол, двугранный угол, трѐхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями,
расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями; умение
использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры
объектов окружающего мира; строить математические модели с помощью геометрических понятий и величин,
решать связанные с ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объѐм фигуры, многогранник, правильный многогранник,
сечение многогранника, куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр,
конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объѐм куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развѐртка поверхности, сечения
конуса и цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы, цилиндра,
конуса; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения,
их сечения, в том числе с помощью электронных средств; умение применять свойства геометрических фигур,
самостоятельно формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках
геометрических фигур, обосновывать или опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный перенос, симметрия на плоскости и в
пространстве, поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные
фигуры, в том числе в природе, искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при решении
задач; находить геометрические величины (длина, угол, площадь, объѐм) при решении задач из других
учебных предметов и из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь,
Код проверяемого
требования
12
13
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
объѐм, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объѐм куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объѐмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор, координаты точки, координаты
вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное
произведение, векторное произведение, угол между векторами; умение использовать векторный и координатный метод для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание значимости математики в изучении
природных и общественных процессов и явлений; умение распознавать проявление законов математики в
искусстве, умение приводить примеры математических открытий российской и мировой математической науки
7. ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближѐнные вычисления, правила округления,
прикидка и оценка результата вычислений
Преобразование выражений
Комплексные числа
Уравнения и неравенства
Код
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
Проверяемый элемент содержания
Целые и дробно-рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Тригонометрические уравнения
Показательные и логарифмические уравнения
Целые и дробно-рациональные неравенства
Иррациональные неравенства
Показательные и логарифмические неравенства
Тригонометрические неравенства
Системы и совокупности уравнений и неравенств
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чѐтные и нечѐтные функции. Периодические
функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности
функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Еѐ свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
Логика
Код
6
6.1
6.2
6.3
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Проверяемый элемент содержания
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Геометрия
Фигуры на плоскости
Прямые и плоскости в пространстве
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы
